domingo, 7 de agosto de 2011
Esfera
Consideremos um ponto O do espaço e uma medida R (R>0). Chama-se esfera de centro O e raio R o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são menores ou iguais a R.
A forma esférica é considerada desde a Antiguidade grega como padrão de equilíbrio e perfeição. Uma frase de Aristóteles mostra o fascínio dos filósofos por essa forma: “O céu deve ser necessariamente esférico, pois a esfera, sendo gerada pela rotação do círculo, é, de todos os corpos, o mais perfeito.”
OBS.:
- O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são menores do que R é chamado de interior da esfera.
- O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são iguais a R é chamado de superfície esférica.
- O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são maiores do que R é chamado de exterior da esfera.
- Plano secante à esfera: O plano e a esfera têm em comum infinitos pontos que formam um círculo chamado secção plana na esfera.
- Plano tangente à esfera: O plano e a esfera têm em comum um único ponto. * O RAIO DA ESFERA É PERPENDICULAR AO PLANO TANGENTE NO PONTO DE TANGÊNCIA.
- Plano exterior à esfera: O plano e a esfera não têm ponto em comum.
Seja x um plano secante a uma esfera de centro O e raio R tal que:
- a distância de x ao ponto O é igual a d (d>0)
- a secção plana determinada por x na esfera é um círculo de centro O’ e raio r.
Pelo teorema de Pitágoras, temos: R² = d² + r².
Área da superfície esférica
Consideremos duas superfícies esféricas de mesmo centro, sendo r o raio da menor e r + h o raio da maior. À região do espaço compreendida entre elas chamaremos “casca esférica”. O volume dessa casca esférica será a diferença entre os volumes das duas respectivas esferas.
Vc = 4π/3 x (r+ h)³ - 4π/3 x r³
Vc = 4π/3 x (r³ + 3r² x h + 3r x h² + h³ - r³)
Vc = 4π/3 x (3r² x h + 3r x h² + h³)
Dividindo os dois membros por h, temos: Vc/h = 4π/3 x (3r² + 3r x h + h²)
Vamos agora fazer h diminuir cada vez mais, fazendo h tender a zero, a expressão Vc/h do primeiro membro é, por definição, a área da superfície esférica de raio r. Dessa forma, chamando de “As” a área da superfície esférica, temos:
As = 4π/3 x (3r² + 3 x h x r + h²)
As = 4π/3 x 3r² à As = 4πr²
Portanto, concluímos: A fórmula que fornece a área de uma superfície esférica de raio r é:
As = 4πr²
VOLUME DA ESFERA
Vamos agora encontrar uma fórmula que nos permita determinar o volume de uma esfera. Para isso iremos fazer uso do princípio de Cavalieri.
Consideremos uma esfera de raio r apoiada sobre um plano x. Ainda sobre x, tomemos um cilindro circular reto cujo raio da base também meça r e cuja altura meça 2r. Desse cilindro, iremos retirar dois cones.
Ao sólido obtido chamaremos s. O volume de s é dado por: Volume do cilindro – Volume do cone – Volume do cone , e portanto:
Vs = (π x r²) x 2r - 1/3 x πr³ - 1/3 x πr³
Vs = 2 x π x r³ - 2 πr³/3 à Vs = 4πr³/3
Como o sólido obtido é esquivalente a esfera, conclui-se que:
O volume de uma esfera de raio r é dado por: V = 4πr³/3
FUSO ESFÉRICO
Consideremos uma superfície esférica de centro O e raio R e dois semiplanos de mesma origem s que passa por O. Cada região da superfície esférica limitada por esses dois semiplanos é chamada de fuso esférico de centro O e raio R. A medida α do ângulo formado pelos dois semiplanos é chamada de medida do ângulo diedro (porção do espaço limitada por dois semiplanos de mesma origem) do fuso esférico.
Sendo α a medida do ângulo diedro do fuso esférico, a área do fuso pode ser obtida pela seguinte proporção:
(α em graus) α/360º = Af/4πr² à Af = 4πr² α/ 360º
(α em radianos) α/2π = Af/4πr²à Af = 2αr²
Consideremos uma superfície esférica de centro O e raio R e dois semiplanos de mesma origem s que passa por O. Cada parte da esfera limitada por esses dois semiplanos é chamada de cunha esférica de centro O e raio R. A medida α do ângulo formado pelos dois semiplanos é chamada de medida do ângulo diedro da cunha esférica.
Se uma cunha esférica tem raio R e a medida de seu ângulo diedro é α, então seu volume Vc é obtido pela proporção:
(α em graus) α/ 360º = Vc/4πr³/3 à Vc = aπr³/270º
(α em radianos) α/2π = Vc/4πr³/3 à Vc = aπr³/3
ESFERAS TANGENTES
Duas esferas são tangentes se, e somente se, suas superfícies têm um ponto em comum.
- Propriedade: Se duas esferas de centro O e O’ são tangentes num ponto T, então os pontos O, O’ e T são colineares.
EXEMPLOS
A esfera pode ser notada em nosso cotidiano, como exemplo da bola de bilhar, mapa múndi, a lua em sua fase cheia, entre outros.
Um exemplo da importância da esfera é os fabricantes de óculos usam uma esfera para calcular a distância focal f em lentes com superfícies esféricas.
Curiosidades:
Esferas Misteriosas
Pelo menos 200 dessas esferas foram extraídas das profundezas rochosas da mina de prata de Wonderstone, na África do Sul. Até aí nada demais, não fosse por algumas características dessas esferas:
- São feitas de uma mistura de níquel/aço, não encontrada na natureza. Algumas são tão resistentes que sequer foram arranhadas por brocas de aço;
- Outras, quando abertas, revelam um material esponjoso que se transforma em poeira em contato com o ar;
- O equilíbrio do peso delas é extremamente bem calculado. Tão bom que, analisado no California Space Institute, excedeu os limites de precisão com os quais eles trabalham;
- A maioria das esferas possui uma absurda semelhança com a misteriosa lua de Saturno, Iapetus, cujo estranho desenho só foi conhecido em detalhes agora, em janeiro de 2005!! Outra possui 3 riscos perfeitamente paralelos ao redor da esfera;
- Agora, o "detalhe" mais insignificante: a idade estimada dessas esferas é de 2.8 a 3 bilhões de anos, quando a forma de vida mais complexa na Terra, nesta época, eram as algas marinhas.
"Um mistério completo", de acordo com Roelf Marx, curator do museu sul-africano de Klerksdorp, que cuida da exposição destes objetos. Uma das esferas, mesmo dentro de um vidro e sem sofrer qualquer vibração, gira sozinha no próprio eixo.
- São feitas de uma mistura de níquel/aço, não encontrada na natureza. Algumas são tão resistentes que sequer foram arranhadas por brocas de aço;
- Outras, quando abertas, revelam um material esponjoso que se transforma em poeira em contato com o ar;
- O equilíbrio do peso delas é extremamente bem calculado. Tão bom que, analisado no California Space Institute, excedeu os limites de precisão com os quais eles trabalham;
- A maioria das esferas possui uma absurda semelhança com a misteriosa lua de Saturno, Iapetus, cujo estranho desenho só foi conhecido em detalhes agora, em janeiro de 2005!! Outra possui 3 riscos perfeitamente paralelos ao redor da esfera;
- Agora, o "detalhe" mais insignificante: a idade estimada dessas esferas é de 2.8 a 3 bilhões de anos, quando a forma de vida mais complexa na Terra, nesta época, eram as algas marinhas.
"Um mistério completo", de acordo com Roelf Marx, curator do museu sul-africano de Klerksdorp, que cuida da exposição destes objetos. Uma das esferas, mesmo dentro de um vidro e sem sofrer qualquer vibração, gira sozinha no próprio eixo.
esfera
Iapetus
Fontes:
Matemática: conceitos, linguagem e aplicações/ Manoel Paiva. 1. ed. - São Paulo: Moderna, 2002.
http://www.brasilescola.com/matematica/esfera.htm
http://www.supletivounicanto.com.br/docs/cd/Matem%E1tica/3%B0%20ano/08-esfera.pdf
Matemática: versão alfa / Edwaldo Bianchini e Herval Paccola. 1. ed. - São Paulo: Moderna, 1995.
Cilindro
O cilindro é um sólido geométrico, limitado lateralmente por uma superfície curva. No desenho, está representado apenas o contorno da superfície cilíndrica. A figura plana que forma as bases do cilindro é o círculo. Note que o encontro de cada base com a superfície cilíndrica forma as arestas.
CLASSIFICAÇÃO DE CILINDROS:
Cilindro Circular:
Sejam α e β dois planos paralelos distintos, uma reta s secante a esses planos e um círculo C de centro O contido em α. Consideremos todos os segmentos de reta, paralelos a s, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente ao círculo C e o outro extremo pertencente a β.
Sejam α e β dois planos paralelos distintos, uma reta s secante a esses planos e um círculo C de centro O contido em α. Consideremos todos os segmentos de reta, paralelos a s, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente ao círculo C e o outro extremo pertencente a β.
Cilindro circular reto:
No cilindro circular reto a geratriz forma com o plano da base um ângulo de 90º. No cilindro circular reto a medida h de uma geratriz é a altura do cilindro.
No cilindro circular reto a geratriz forma com o plano da base um ângulo de 90º. No cilindro circular reto a medida h de uma geratriz é a altura do cilindro.
O cilindro circular reto também é conhecido por cilindro de revolução, pois pode ser obtido pela revolução de 360º de uma região retangular em torno de um eixo.
Cilindro eqüilátero:
O cilindro que possui as seções meridianas quadradas é chamado de cilindro eqüilátero.
No cilindro eqüilátero a altura é igual ao diâmetro da base: h = 2r.
O cilindro que possui as seções meridianas quadradas é chamado de cilindro eqüilátero.
No cilindro eqüilátero a altura é igual ao diâmetro da base: h = 2r.
Área Lateral e Área total de um cilindro circular reto:
A superfície de um cilindro reto de altura h e raio da base r é equivalente à reunião de uma região retangular, de lados 2πr e h, com dois círculos de raio r. Observe a planificação do cilindro.
A superfície de um cilindro reto de altura h e raio da base r é equivalente à reunião de uma região retangular, de lados 2πr e h, com dois círculos de raio r. Observe a planificação do cilindro.
A área do retângulo equivalente à superfície lateral do cilindro é a área lateral Aℓ do cilindro, ou seja:
Aℓ = 2*π*r*h
A área total At do cilindro é igual à soma da área lateral Aℓ com as áreas das duas bases, ou seja:
At = 2*π*r*h + π*r2 + π*r2 → At = 2*π*r*h + 2π*r2
Volume do cilindro circular:
O volume V de um cilindro circular de altura h e raio da base r é igual ao produto da área da base, πr2, pela altura h, isto é:
V = π*r2*h
Aℓ = 2*π*r*h
A área total At do cilindro é igual à soma da área lateral Aℓ com as áreas das duas bases, ou seja:
At = 2*π*r*h + π*r2 + π*r2 → At = 2*π*r*h + 2π*r2
Volume do cilindro circular:
O volume V de um cilindro circular de altura h e raio da base r é igual ao produto da área da base, πr2, pela altura h, isto é:
V = π*r2*h
Explicação de Cilindro:
Consideremos um círculo de centro O e raio r num plano, e um segmento de reta, cuja reta suporte intercepta em Q. Temos segmentos de reta paralelos e congruentes a , cada um deles com uma das extremidades num ponto do círculo e a outra extremidade num mesmo semi-espaço dos determinados por ele. A reunião de todos esses segmentos é um sólido chamado cilindro.
Construção de cilindros
Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r e tomemos também um segmento de reta AB que não seja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P. Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB com uma extremidade no círculo.
Cilindro é uma superfície no espaço R³, mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro como a região sólida contida dentro do cilindro. A reta que contém o segmento AB é denominada geratriz e a curva que fica no plano do "chão" é a diretriz.
Em função da inclinação do segmento AB em relação ao plano do "chão", o cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento AB for perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz.
Objetos geométricos em um "cilindro"
Em um cilindro, podemos identificar vários elementos:
- Base: É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases.
- Eixo: É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".
- Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do "cilindro".
- Superfície Lateral: É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz.
- Superfície Total: É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro.
- Área lateral: É a medida da superfície lateral do cilindro.
- Área total: É a medida da superfície total do cilindro.
- Seção meridiana de um cilindro: É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.
As características apresentadas antes para cilindros circulares, são também possíveis para outros tipos de curvas diretrizes, como: elipse, parábola, hipérbole, seno ou outra curva simples e suave num plano.
Mesmo que a diretriz não seja uma curva conhecida, ainda assim existem cilindros obtidos quando a curva diretriz é formada por uma reunião de curvas simples. Por exemplo, se a diretriz é uma curva retangular, temos uma situação patológica e o cilindro recebe o nome especial de prisma.
Em função da curva diretriz, o cilindro terá o nome de cilindro: elíptico, parabólico, hiperbólico, sinusoidal (telha de Eternit).
Classificação dos cilindros circulares
- Cilindro circular oblíquo: Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das bases.
- Cilindro circular reto: As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro é também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo.
- Cilindro eqüilátero: É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado.
Volume de um "cilindro"
Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura.
V = A(base) h
Se a base é um círculo de raio r, e pi=3,141593..., então:
V = pi r² h
Área lateral e área total de um cilindro circular reto
Em um cilindro circular reto, a área lateral é dada por A(lateral)=2pi.r.h, onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. A área total corresponde à soma da área lateral com o dobro da área da base.
Exemplo: Um cilindro circular equilátero é aquele cuja altura é igual ao diâmetro da base, isto é h=2r. Neste caso, para calcular a área lateral, a área total e o volume, podemos usar as fórmulas, dadas por:
Curiosidade:
A Casa “Roll It” é um projeto experimental, resultado de um trabalho conjunto entre diversos institutos da Universidades de Karlsruhe, Alemanha.
Curiosidade: http://www.curiosando.com.br/casa-cilindro/#ixzz1UOcgd4v2
Pirâmide
É um poliedro em que uma das faces é um polígono qualquer, a que se chama base; as outras faces são triângulos que têm um vértice comum, chamado vértice da pirâmide.
Classificação:
Uma pirâmide diz-se reta, se a projeção do vértice da pirâmide coincide com o centro da base. Uma pirâmide reta cuja base é um polígono regular diz-se uma pirâmide regular. Nas pirâmides regulares, as faces laterais são triângulos isósceles. Quando a projeção do vértice não coincide com o centro do polígono da base, diz-se que a pirâmide é oblíqua.
Altura de uma pirâmide é a distância do vértice da pirâmide ao plano da base. À altura de cada uma das faces laterais chama-se apótema da pirâmide. É evidente que, sendo a base um polígono regular, este também tem um apótema, a que se chama apótema da base.
Numa pirâmide podemos encontrar os seguintes elementos:
- base (polígono);
- faces (triângulos);
- arestas da base (lados da base);
- arestas laterais (lados das faces que não pertencem à base);
- vértices da base (vértices do polígono da base);
- vértice da pirâmide (ponto de encontro das arestas laterais).
Tal como acontece com os prismas, também as pirâmides se classificam de acordo com o polígono da base.
Assim, teremos:
- pirâmide triangular (três faces; base é um triângulo);
- pirâmide quadrangular (quatro faces);
- pirâmide pentagonal (cinco faces);
- pirâmide hexagonal (seis faces);
- etc.
Quando a pirâmide é formada por quatro triângulos equiláteros geometricamente iguais, tem o nome especial de tetraedro, que é um poliedro regular porque as suas faces são polígonos regulares sobreponíveis e é idêntico em todas as faces, isto é, neste poliedro não há vértices nem bases especiais. Em geral, uma pirâmide regular não é um poliedro regular.
A área não é mais do que a soma da área lateral, Al (sombreada a vermelho), com a área da base, Ab (sombreada a cinzento):
A área lateral é a soma das áreas das faces (triângulos isósceles). Sendo p o perímetro da base, Al = (p × a) ÷ 2 . A área total será, então, dada pela seguinte fórmula:
At = (p × a) ÷ 2 + Ab .
Para entender a fórmula que permite calcular o volume de uma pirâmide, podemos pensar num caso muito evidente: uma pirâmide quadrangular regular cuja base seja uma face de um cubo (de aresta a) e cujo vértice seja o centro desse cubo.
O Princípio de Cavalieri autoriza-nos a afirmar que esta conclusão é válida para qualquer pirâmide.
Planificações:
Curiosidades:
PIRÂMIDES
* Das sete maravilhas do mundo antigo, as oitenta pirâmides são as únicas sobreviventes. Foram construídas por volta de 2690 a.C., a 10 km do Cairo, capital do Egito. As três mais célebres pirâmides de Gizéh (Quéops, Quéfren e Miquerinos) ocupam uma área de 129.000 m2. A maior delas (Queóps) foi construída pelo mais rico dos faraós, e empregou cem mil operários durante 20 anos. Se enfileirássemos os blocos de granito das três pirâmides, eles dariam a volta ao mundo.
"O tempo ri para todas as coisas, mas as pirâmides riem do tempo".
Curiosidades sobre as Pirâmides
- Estas três majestosas pirâmides foram construídas como tumbas dos reis Kufu (ou Quéops), Quéfren, e Menkaure (ou Miquerinos) - pai, filho e neto.
- A maior delas, com 147 m de altura (49 andares), é chamada Grande Pirâmide, e foi construída cerca de 2550 a.C. para Kufu, no auge do antigo reinado do Egito.- As pirâmides de Gizéh são um dos monumentos mais famosos do mundo.
- Como todas as pirâmides, cada uma faz parte de um importante complexo que compreende um templo, uma rampa, um templo funerário e as pirâmides menores das rainhas, todo cercado de túmulos (mastabas) dos sacerdotes e pessoas do governo, uma autêntica cidade para os mortos.
- As valas aos pés das pirâmides continham botes desmontados: parte integral da vida no Nilo sendo considerados fundamentais na vida após a morte, porque os egípcios acreditavam que o defunto-rei navegaria pelo céu junto ao Rei-Sol.
- Apesar das complicadas medidas de segurança, como sistemas de bloqueio com pedregulhos e grades de granito, todas as pirâmides do Antigo Império foram profanadas e roubadas possivelmente antes de 2000 a.C.
- Existem hoje no Egito 80 pirâmides; A Grande Pirâmide, de 147 m de altura, é a maior de todas.
- Se a Grande Pirâmide estivesse na cidade de Nova Iorque por exemplo, ela poderia cobrir sete quarteirões.
- Todos os quatro lados são praticamente do mesmo comprimento, com uma exatidão não existente apenas por alguns centímetros. Isso mostra como os antigos egípcios estavam avançados na matemática e na engenharia, numa época em que muitos povos do mundo ainda eram caçadores e andarilhos.
- A Grande Pirâmide manteve-se como a mais alta estrutura feita pelo homem até a construção da Torre Eiffel em 1900, 4.500 anos depois da construção da pirâmide.
- Para os egípcios, a pirâmide representava os raios do Sol, brilhando em direção à Terra. Todas as pirâmides do Egito foram construídas na margem oeste do Nilo, na direção do sol poente.
- Os egípcios acreditavam que, enterrando seu rei numa pirâmide, ele se elevaria e se juntaria ao sol, tomando o seu lugar de direito com os deuses.
- A construção da pirâmide foi feita com pedras justapostas, ou seja "encaixadas", sem auxílio de cimento ou qualquer material colante, e alguns blocos estão tão bem unidos que não é possível passar entre eles uma folha de papel, até mesmo uma agulha.
Assinar:
Postagens (Atom)