O cilindro é um sólido geométrico, limitado lateralmente por uma superfície curva. No desenho, está representado apenas o contorno da superfície cilíndrica. A figura plana que forma as bases do cilindro é o círculo. Note que o encontro de cada base com a superfície cilíndrica forma as arestas.
CLASSIFICAÇÃO DE CILINDROS:
Cilindro Circular:
Sejam α e β dois planos paralelos distintos, uma reta s secante a esses planos e um círculo C de centro O contido em α. Consideremos todos os segmentos de reta, paralelos a s, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente ao círculo C e o outro extremo pertencente a β.
Sejam α e β dois planos paralelos distintos, uma reta s secante a esses planos e um círculo C de centro O contido em α. Consideremos todos os segmentos de reta, paralelos a s, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente ao círculo C e o outro extremo pertencente a β.
Cilindro circular reto:
No cilindro circular reto a geratriz forma com o plano da base um ângulo de 90º. No cilindro circular reto a medida h de uma geratriz é a altura do cilindro.
No cilindro circular reto a geratriz forma com o plano da base um ângulo de 90º. No cilindro circular reto a medida h de uma geratriz é a altura do cilindro.
O cilindro circular reto também é conhecido por cilindro de revolução, pois pode ser obtido pela revolução de 360º de uma região retangular em torno de um eixo.
Cilindro eqüilátero:
O cilindro que possui as seções meridianas quadradas é chamado de cilindro eqüilátero.
No cilindro eqüilátero a altura é igual ao diâmetro da base: h = 2r.
O cilindro que possui as seções meridianas quadradas é chamado de cilindro eqüilátero.
No cilindro eqüilátero a altura é igual ao diâmetro da base: h = 2r.
Área Lateral e Área total de um cilindro circular reto:
A superfície de um cilindro reto de altura h e raio da base r é equivalente à reunião de uma região retangular, de lados 2πr e h, com dois círculos de raio r. Observe a planificação do cilindro.
A superfície de um cilindro reto de altura h e raio da base r é equivalente à reunião de uma região retangular, de lados 2πr e h, com dois círculos de raio r. Observe a planificação do cilindro.
A área do retângulo equivalente à superfície lateral do cilindro é a área lateral Aℓ do cilindro, ou seja:
Aℓ = 2*π*r*h
A área total At do cilindro é igual à soma da área lateral Aℓ com as áreas das duas bases, ou seja:
At = 2*π*r*h + π*r2 + π*r2 → At = 2*π*r*h + 2π*r2
Volume do cilindro circular:
O volume V de um cilindro circular de altura h e raio da base r é igual ao produto da área da base, πr2, pela altura h, isto é:
V = π*r2*h
Aℓ = 2*π*r*h
A área total At do cilindro é igual à soma da área lateral Aℓ com as áreas das duas bases, ou seja:
At = 2*π*r*h + π*r2 + π*r2 → At = 2*π*r*h + 2π*r2
Volume do cilindro circular:
O volume V de um cilindro circular de altura h e raio da base r é igual ao produto da área da base, πr2, pela altura h, isto é:
V = π*r2*h
Explicação de Cilindro:
Consideremos um círculo de centro O e raio r num plano, e um segmento de reta, cuja reta suporte intercepta em Q. Temos segmentos de reta paralelos e congruentes a , cada um deles com uma das extremidades num ponto do círculo e a outra extremidade num mesmo semi-espaço dos determinados por ele. A reunião de todos esses segmentos é um sólido chamado cilindro.
Construção de cilindros
Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r e tomemos também um segmento de reta AB que não seja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P. Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB com uma extremidade no círculo.
Cilindro é uma superfície no espaço R³, mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro como a região sólida contida dentro do cilindro. A reta que contém o segmento AB é denominada geratriz e a curva que fica no plano do "chão" é a diretriz.
Em função da inclinação do segmento AB em relação ao plano do "chão", o cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento AB for perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz.
Objetos geométricos em um "cilindro"
Em um cilindro, podemos identificar vários elementos:
- Base: É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases.
- Eixo: É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".
- Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do "cilindro".
- Superfície Lateral: É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz.
- Superfície Total: É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro.
- Área lateral: É a medida da superfície lateral do cilindro.
- Área total: É a medida da superfície total do cilindro.
- Seção meridiana de um cilindro: É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.
As características apresentadas antes para cilindros circulares, são também possíveis para outros tipos de curvas diretrizes, como: elipse, parábola, hipérbole, seno ou outra curva simples e suave num plano.
Mesmo que a diretriz não seja uma curva conhecida, ainda assim existem cilindros obtidos quando a curva diretriz é formada por uma reunião de curvas simples. Por exemplo, se a diretriz é uma curva retangular, temos uma situação patológica e o cilindro recebe o nome especial de prisma.
Em função da curva diretriz, o cilindro terá o nome de cilindro: elíptico, parabólico, hiperbólico, sinusoidal (telha de Eternit).
Classificação dos cilindros circulares
- Cilindro circular oblíquo: Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das bases.
- Cilindro circular reto: As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro é também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo.
- Cilindro eqüilátero: É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado.
Volume de um "cilindro"
Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura.
V = A(base) h
Se a base é um círculo de raio r, e pi=3,141593..., então:
V = pi r² h
Área lateral e área total de um cilindro circular reto
Em um cilindro circular reto, a área lateral é dada por A(lateral)=2pi.r.h, onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. A área total corresponde à soma da área lateral com o dobro da área da base.
Exemplo: Um cilindro circular equilátero é aquele cuja altura é igual ao diâmetro da base, isto é h=2r. Neste caso, para calcular a área lateral, a área total e o volume, podemos usar as fórmulas, dadas por:
Curiosidade:
A Casa “Roll It” é um projeto experimental, resultado de um trabalho conjunto entre diversos institutos da Universidades de Karlsruhe, Alemanha.
Curiosidade: http://www.curiosando.com.br/casa-cilindro/#ixzz1UOcgd4v2
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