Geometrizando No Sistema: Esfera

Consideremos um ponto O do espaço e uma medida R (R>0). Chama-se esfera de centro O e raio R o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são menores ou iguais a R.

A forma esférica é considerada desde a Antiguidade grega como padrão de equilíbrio e perfeição. Uma frase de Aristóteles mostra o fascínio dos filósofos por essa forma: “O céu deve ser necessariamente esférico, pois a esfera, sendo gerada pela rotação do círculo, é, de todos os corpos, o mais perfeito.”

OBS.:

- O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são menores do que R é chamado de interior da esfera.

- O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são iguais a R é chamado de superfície esférica.

- O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são maiores do que R é chamado de exterior da esfera.

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UM PLANO E UMA ESFERA

- Plano secante à esfera: O plano e a esfera têm em comum infinitos pontos que formam um círculo chamado secção plana na esfera.

- Plano tangente à esfera: O plano e a esfera têm em comum um único ponto. * O RAIO DA ESFERA É PERPENDICULAR AO PLANO TANGENTE NO PONTO DE TANGÊNCIA.

- Plano exterior à esfera: O plano e a esfera não têm ponto em comum.

TEOREMA DE PITÁGORAS E A SECÇÃO PLANA DA ESFERA

Seja x um plano secante a uma esfera de centro O e raio R tal que:

- a distância de x ao ponto O é igual a d (d>0)

- a secção plana determinada por x na esfera é um círculo de centro O’ e raio r.

Pelo teorema de Pitágoras, temos: R² = d² + r².

Área da superfície esférica

Consideremos duas superfícies esféricas de mesmo centro, sendo r o raio da menor e r + h o raio da maior. À região do espaço compreendida entre elas chamaremos “casca esférica”. O volume dessa casca esférica será a diferença entre os volumes das duas respectivas esferas.

Vc = 4π/3 x (r+ h)³ - 4π/3 x r³

Vc = 4π/3 x (r³ + 3r² x h + 3r x h² + h³ - r³)

Vc = 4π/3 x (3r² x h + 3r x h² + h³)

Dividindo os dois membros por h, temos: Vc/h = 4π/3 x (3r² + 3r x h + h²)

Vamos agora fazer h diminuir cada vez mais, fazendo h tender a zero, a expressão Vc/h do primeiro membro é, por definição, a área da superfície esférica de raio r. Dessa forma, chamando de “As” a área da superfície esférica, temos:

As = 4π/3 x (3r² + 3 x h x r + h²)

As = 4π/3 x 3r² à As = 4πr²

Portanto, concluímos: A fórmula que fornece a área de uma superfície esférica de raio r é:

As = 4πr²

VOLUME DA ESFERA

Vamos agora encontrar uma fórmula que nos permita determinar o volume de uma esfera. Para isso iremos fazer uso do princípio de Cavalieri.

Consideremos uma esfera de raio r apoiada sobre um plano x. Ainda sobre x, tomemos um cilindro circular reto cujo raio da base também meça r e cuja altura meça 2r. Desse cilindro, iremos retirar dois cones.

Ao sólido obtido chamaremos s. O volume de s é dado por: Volume do cilindro – Volume do cone – Volume do cone , e portanto:

Vs = (π x r²) x 2r - 1/3 x πr³ - 1/3 x πr³

Vs = 2 x π x r³ - 2 πr³/3 à Vs = 4πr³/3

Como o sólido obtido é esquivalente a esfera, conclui-se que:

O volume de uma esfera de raio r é dado por: V = 4πr³/3

FUSO ESFÉRICO

Consideremos uma superfície esférica de centro O e raio R e dois semiplanos de mesma origem s que passa por O. Cada região da superfície esférica limitada por esses dois semiplanos é chamada de fuso esférico de centro O e raio R. A medida α do ângulo formado pelos dois semiplanos é chamada de medida do ângulo diedro (porção do espaço limitada por dois semiplanos de mesma origem) do fuso esférico.

Sendo α a medida do ângulo diedro do fuso esférico, a área do fuso pode ser obtida pela seguinte proporção:

(α em graus) α/360º = Af/4πr² à Af = 4πr² α/ 360º

(α em radianos) α/2π = Af/4πr²à Af = 2αr²

CUNHA ESFÉRICA

Consideremos uma superfície esférica de centro O e raio R e dois semiplanos de mesma origem s que passa por O. Cada parte da esfera limitada por esses dois semiplanos é chamada de cunha esférica de centro O e raio R. A medida α do ângulo formado pelos dois semiplanos é chamada de medida do ângulo diedro da cunha esférica.

Se uma cunha esférica tem raio R e a medida de seu ângulo diedro é α, então seu volume Vc é obtido pela proporção:

(α em graus) α/ 360º = Vc/4πr³/3 à Vc = aπr³/270º

(α em radianos) α/2π = Vc/4πr³/3 à Vc = aπr³/3

ESFERAS TANGENTES

Duas esferas são tangentes se, e somente se, suas superfícies têm um ponto em comum.

- Propriedade: Se duas esferas de centro O e O’ são tangentes num ponto T, então os pontos O, O’ e T são colineares.

EXEMPLOS

A esfera pode ser notada em nosso cotidiano, como exemplo da bola de bilhar, mapa múndi, a lua em sua fase cheia, entre outros.

Um exemplo da importância da esfera é os fabricantes de óculos usam uma esfera para calcular a distância focal f em lentes com superfícies esféricas.

Curiosidades:

Esferas Misteriosas

Pelo menos 200 dessas esferas foram extraídas das profundezas rochosas da mina de prata de Wonderstone, na África do Sul. Até aí nada demais, não fosse por algumas características dessas esferas:

- São feitas de uma mistura de níquel/aço, não encontrada na natureza. Algumas são tão resistentes que sequer foram arranhadas por brocas de aço;
- Outras, quando abertas, revelam um material esponjoso que se transforma em poeira em contato com o ar;
- O equilíbrio do peso delas é extremamente bem calculado. Tão bom que, analisado no California Space Institute, excedeu os limites de precisão com os quais eles trabalham;
- A maioria das esferas possui uma absurda semelhança com a misteriosa lua de Saturno, Iapetus, cujo estranho desenho só foi conhecido em detalhes agora, em janeiro de 2005!! Outra possui 3 riscos perfeitamente paralelos ao redor da esfera;
- Agora, o "detalhe" mais insignificante: a idade estimada dessas esferas é de 2.8 a 3 bilhões de anos, quando a forma de vida mais complexa na Terra, nesta época, eram as algas marinhas.

"Um mistério completo", de acordo com Roelf Marx, curator do museu sul-africano de Klerksdorp, que cuida da exposição destes objetos. Uma das esferas, mesmo dentro de um vidro e sem sofrer qualquer vibração, gira sozinha no próprio eixo.